Πρώτος, ονομάζεται κάθε θετικός ακέραιος, μεγαλύτερος του 1, που έχει μόνο δύο θετικούς διαιρέτες. Το 1 και τον εαυτό του. Έτσι πρώτοι είναι οι αριθμοί : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Παρατηρούμε ότι ο μοναδικός άρτιος πρώτος είναι το 2. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί. Ένας θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 1, που δεν είναι πρώτος, λέγεται σύνθετος. Έτσι σύνθετοι είναι οι αριθμοί : 4=2x2 , 6=2x3, 10=2x5 21=3x7, 621=3x207, ... Ο αριθμός 1 δεν θεωρείται ούτε σύνθετος ούτε πρώτος. Οι πρώτοι είναι άπειροι και η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Ευκλείδη. Φυσικά και οι σύνθετοι είναι άπειροι. Ακόμη υπάρχουν όσοι διαδοχικοί ακέραιοι θέλουμε, από τους οποίους κανένας δεν είναι πρώτος. Αν θέλουμε να βρούμε 5 διαδοχικούς ακέραιους που να μην είναι πρώτοι αρκεί να πάρουμε τους αριθμούς : 6!+2 , 6!+3 , 6!+4 , 6!+5 , 6!+6 όπου 6!=1x2x3x4x5x6=720. Από τους αριθμούς αυτούς (722, 723, 724, 725, 726) κανένας δεν είναι πρώτος, γιατί ο πρώτος διαρείται με το 2, ο δεύτερος με το 3, ο τρίτος με το 4 κτλ. Ομοίως αν θέλαμε να βρούμε 1000 διαδοχικούς θετικούς ακέραιους, που να μην είναι πρώτοι, θα μπορούσαμε να πάρουμε τους αριθμούς : 1001!+2, 1001!+3, 1001!+4, ... , 1001!+1001. Βέβαια μην προσπαθήσετε να υπολογίσετε τον αριθμό 1001!=1x2x3x...x1001. Είναι τεράστιος. Στη συνέχεια μπορείτε να εισάγετε ένα αριθμό και να ελέγξετε αν είναι πρώτος.
O Christian Goldbach, ήταν Γερμανός Μαθηματικός που έζησε τον 18ο αιώνα (1690-1764). Στα 1742, σε μια επιστολή του προς τον Leonard Εuler, έναν από τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς όλων των εποχών, διατύπωσε την άποψη ότι : Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων Για παράδειγμα έχουμε : 8=5+3, 10=7+3=5+5, 22=19+3=17+5,... Αυτή η πρόταση, που παραμένει χωρίς απόδειξη για παραπάνω από 250 χρόνια, έχει γίνει γνωστή με το όνομα "Εικασία του Goldbach" Στη συνέχεια μπορείτε να επαληθεύσετε την παραπάνω πρόταση, γράφοντας έναν άρτιο ( το τελευταίο ψηφίο του αριθμού θα πρέπει να είναι ή 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 ) μεγαλύτερο του 2 και πατώντας "ENTER" , θα πάρετε δύο πρώτους, που το άθροισμα τους θα ισούται με τον αριθμό, που έχετε εισάγει.
Από το 1 μέχρι το 100 υπάρχουν 25 πρώτοι. Από το 1 μέχρι το 1000, υπάρχουν 168 πρώτοι.Βρείτε πόσοι πρώτοι υπάρχουν ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους
Κάθε σύνθετος ακέραιος, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων. Και ο τρόπος είναι μοναδικός. Π.χ. ο αριθμός 36 γράφεται : 36=2x2x3x3=22x33 , ενώ ο αριθμός 550 γράφεται : 2x5x5x11=2x52x11. Σε κάθε περίπτωση ο τρόπος γραφής είναι μοναδικός. Δηλαδή, δεν υπάρχουν άλλοι πρώτοι, που το γινόμενος τους να ισούται με 550, εκτός από τους 2, 5, 11. Στη συνέχεια μπορείτε να αναλύσετε έναν θετικό ακέραιο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, γράφοντας τον αριθμό και πατώντας "ENTER" . Αν ο αριθμός δεν είναι πρώτος, θα πάρετε δύο ή περισσότερους πρώτους, που το γινόμενο τους θα ισούται με τον αριθμό, που έχετε εισάγει. Η διαδικασία της ανάλυσης ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων, μπορεί να γίνει εξαιρετικά χρονοβόρα - και μιλάμε για χρόνια, όχι για ώρες- όταν πρόκειται για πολύ μεγάλους αριθμούς